Низкая цена
Всего 249a за скачивание одной диссертации
Скидки
75 диссертаций за 4900a по акции. Подробнее
О проекте

Электронная библиотека диссертаций — нашли диссертацию, посмотрели оглавление или любые страницы за 3 рубля за страницу, пополнили баланс и скачали диссертацию.

Я впервые на сайте

Отзывы о нас

Когомологии квазиоднородных компонент в пространстве модулей пучков : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.04

Год: 2013

Номер работы: 146

Автор:

Стоимость работы: 249 e

Без учета скидки. Вы получаете файл формата pdf

Оглавление и несколько страниц
Бесплатно

Вы получаете первые страницы диссертации в формате txt

Читать онлайн
постранично
Платно

Просмотр 1 страницы = 3 руб



Оглавление диссертации:

к Комбинаторное тождество 4 8 8 11 12 12 15 15 16 18 20 22 22 23 26 34 36 38 41 41 52 53 53 54 56 59 61 61 62 62 64 Приложение А. Разбиения и диаграммы Юнга А.1. Определения А.2. д-фуикции А.З. Ядро разбиения Приложение В. Некоторые сведения из алгебраической геометрии

8.1.

8.2.

8.3. Кольцо Гротендпка KQ(V<C) Клеточные разбиения алгебраических многообразий Теорема Бялыницки-Бируля Литература з

Диссертация посвящена различным задачам геометрии схем Гильберта точек на комплексной плоскости, а также их обобщений - пространств модулей оснащённых пучков на проективной плоскости. Схема Гильберта п точек на плоскости - это алгебраическое многообразие, параметризуютцес идеалы коразмерности п в кольце полиномов от двух переменных. Это пространство интенсивно изучается на протяжении последних 25 лет и является очень интересным объектом по многим причинам. Вопервых, его геометрия весьма нетри

Глава 1 Пространство модулей пучков на проективной плоскости В этой главе мы дадим определения и перечислим основные результаты, связанные с пространством модулей оснащённых пучков на проективной плоскости. Раздел

1.1 посвящен непосредственно определению и свойствам пространства модулей пучков Л4(г, . В Разделе

1.2 мы введём важное вспомогательное пространство Л4о(г,, которое мы будем использовать в доказательствах ряда утверждений в последующих

главах. В Разделе

1.3 мы опишем когомологии многообразия Л4(г,п). В Разделе

1.4 мы более подробно остановимся на пространстве Л4(1,п), которое изоморфно схеме Гильберта. п точек на плоскости. Все изложенные здесь результаты содержатся в работах [30], [32], [27] и 14].

1.1. Пространство М (г,

п) В этом разделе мы следуем работам [30] и [32]. В Разделе

1.1.1 мы дадим определение пространства модулей Л4(г,п). В Разделе

1.1.2 мы приведём колчанное описание пространства М(г,п), которым и будем пользоваться на протяжении всей работы. Далее в Разделе

1.1.3 мы определим действие тора (С*) 2 х (С*) г на Л4(г, п), а в Разделе

1.1.4 опишем множество неповижных точек этого действия.

1.1.1. Определение. Пространство модулей А4(г,п) о

1.. Многообразие Л4о(г,п) определяется как аффинный алгебро-геометрический фактор Mo(r,n) = {(B1,B2,i,j)\[B1,B2] + ij = 0}//GLn{C). Говоря более подробно, это аффинное алгебраической многообразие, которое можно задать двумя эквивалентными способами. Во-первых, его можно рассматривать, как множество замкнутых орбит действия группы GLn(C) на {(Bi, В2,i, j)\[B\, В2] +ij = 0}. Во-вторых, его можно определить как аффинное многообразие, соответствующее алгебре GLn(С)-инвариантных функций v&{(

1.3. Когомологии многообразия -1 п п г М(г,п) В [32] показано, что пространство модулей М. (г,

п) стягивается на слой 7г (п[0]). Пользуясь Теоремой Бялыпицки-Бируля, с помощью построенного (С*)2 х (С*)г-действия на Л4(г, п), нетрудно построить клеточные разбиения многообразия Л4(г,п) и слоя 7г-1(п[0]) и получить следующие результаты (см. напр. [32]). п>0 г=1п>1 Ч n>0 i=lп>1 Ч Здсст Pq и РцМ обозначают многочлены Пуанкаре, соответствующие обычным гомологиям и гомоло

Глава. 2 Колчанные многообразия Данная

глава содержит ряд результатов про циклические колчанные многообразия, которые будут играть важную роль в доказательствах Теорем

3.1 и

4.1. Основным результатом является Теорема

2.2. В Разделе

2.1 мы напомним определение циклических колчанных многообразий и определим на них Содействие. В Разделе

2.2 мы напомним естественную реализацию циклических колчанных многообразий, как подмногообразий в пространстве модулей пучко

Основным содержанием этого раздела является следующая теорема. ТЕОРЕМА

2.2. Множество неподвижных точек 9Я(г>, w) ^ компактно и Ta Определение многочленов Пуанкаре Pq и Р^ см. в Разд. В.2. В Разделе

2.3.1 мы докажем важное достачное условие компактности множества неподвижных точек действия одномерного тора на многообразии Л4(г, п). Собственно доказательству Теоремы

2.2 посвящен Раздел

2.3.2.

2.3.1. Компактность многообразия М (г,

п) т«#. ПРЕДЛОЖЕНИЕ

My используем здесь обозначения из Разделов АЛ и А.З. Пусть Л G П т - 1 , положим то—1 ^0 (А) = 5 £ fc=0 Л ь т-2 п(Л) = 7га>о(А) + ^ ( г а - 1 - fc)Afc. fc=0 20 ЛЕММА

2.5. Для произвольной диаграммы У Е Согет имеет место равенство \Y\ = п(Ф(У)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим колчанное многообразие dH(wl~1'm(Y), е 0 ). Из свойств биекции Ф следует, что если Y' - диаграмма Юнга, удовлетворяющая условиям \Y'\ = \Y\ и wl,~l',m(Y) = w1~1',m(Y'): то Y' = Y. Таким образом, множество (С*)2-

Глава 3 Квазиоднородные схемы Гильберта Данная

глава посвящена различным результатам, связанным с квазиоднородными схемами Гильберта. Эти многообразия определяются следующим 2 2 образом. Двумерный тор (С*) действует на плоскости С по формуле (t\, £2) • 2 (х,у) = (tix,t2y). Таким образом, индуцируется (С*) -действие на кольце 2 2 полиномов С[х,у] и в результате (С*) -действие на схеме Гильберта ( С ) ^ . Пусть а и Р - произвольные взаимно простые положительные целые числа. Определим одн

Покажем сразу, что квазиоднородная схема Гильберта является компактным многообразием. Рассмотрим отображение 7г: (С2)(п1 —• Sn(C2). Ясно, что > п[0] является единственной неподвижной точкой Т^-дсйствия на ,S n (C 2 ), погр этому многообразие ( ( С 2 ) ^ ) компактным. а,/? содержится в тг _1 (п[0]) и значит является rp В общем случае многообразие ( ( С 2 ) ^ ) "'" не является неприводимым. Описание неприводимых компонент было получено в [9]. Приведём здесь это описание. Пусть

3.2. Производящий р я д многочленов Пуанкаре В этом разделе мы докажем Теорему

3.1. Сначала, в Разделе

3.2.1 мы сделаем небольшой промежуточный шаг, установим как компоненты квазиоднородной схемы Гильберта вкладываются в циклические колчанные многообразия. Непосредственно доказательству Теоремы

3.1 посвящен Раздел

3.2.2.

3.2.1. Промежуточное действие конечной группы. Для произвольных целых чисел /лжи положим *\2 г,,„= (Г,СЛе(с*) j = 0 , 1 , . . . , г а - 1, С =

3.3. КОГОМОЛОГИЙ неприводимых компонент при а = 1 В этом разделе мы выведем формулу для когомологий многообразий гр ((C 2 )[ n ')„ 1 , f c . Для того, чтобы сформулировать наш результат, введём некоторые обозначения. На протяжении всего раздела зафиксируем некоторое положительное целое число к. Пусть Н = (do,di,...) - некоторая последовательность неотрицательных целых чисел. Обозначим через

г)(Н) наибольшее г, такое что di = [^] + 1. Мы будем следовать следующим соглашениям, г/(Н) = —

В этом разделе мы получим ряд комбинаторных тождеств в качестве следствия Теорем

3.1 и

3.4. Эти тождества являются содержанием Теорем

3.13,

3.14 и

3.15. ТЕОРЕМА

3.13. Пусть а и Р - произвольная пара положительных взаимно простых целых чисел. Имеет место тождество V^ Yey i{s&r\aly(s)=p(ay(s)+l)}t\Y\ _ ТТ г>1 ТТ г>1 L_ qt(a+p)i' ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ выбрать достаточно большое целое число 7, то выполняется ( ( С 2 ) ^ ) р € ((С )^) гр 2 а,р 2 1л =

3.5. (g, £)-числа Каталана и схемы Гильберта • В этом разделе мы покажем, что (q, £)-числа Каталана имеют очень простую интерпретацию в терминах классов определённых подмногообразий в схеме Гильберта (С 2 )^. В Разделе

3.5.1 мы напомним определение (q, £)-чисел Каталана к-oro типа. Раздел

3.5.2 содержит Теорему

3.16, по-новому иитеиретирующую эти числа в терминах геометрии схемы Гильберта ( С 2 ) ^ .

3. Определение (q, £)-чисел Каталана. Путем Дика к-ого типа называется путь из точки (0,0) в точку (/г?г, п), состояищй из шагов по направлениям (0,1) или (1, 0), а также никогда не проходящий строго ниже прямой х = ку (см. Рис.

3.2). Обозначим через L\nn множество таких путей. Пусть 7г G L^nn. Обозначим через D'n множество клеток, расположенных выше пути 7г и принадлежащих прямоугольнику с вершинами (0,0), (кп, 0), (кп,п) и (0,п). Если отразить множество D^ относительно горизонтальной

3. (#, £)-числа Каталана и схемы Гильберта. Обозначим через Vk>n векторное подпространство в С[х, у], порождённое мономами хгу:> с условием i + kj < кп — к — 1. Обозначим через ( С 2 ) ^ ^ ' ^ подмножество в ( С 2 ) ^ , состоящее из идеалов / С С [ж, у] таких, что I + Vfc>n = С[х, у]. Легко понять, что (С 2 )^^,") является открытым подножеством в ( С 2 ) ^ . ТЕОРЕМА

3.16. Имеет место равенство £ N>0 (С 2 ) ^ ( М ) tN = ( U ^ C ^ L " * " ) . ДОКАЗАТЕЛЬСТ

В этом разделе мы покажем, что при определённых условиях компоненты вложенных однородных схем Гильберта изоморфны компонентам квазиоднородных схем Гильберта. Пусть п = (п1,пг, • • • ,Пк) - произвольная последовательность неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих условию п\ > п 2 > • • • > пк. Пусть Я = ( Я ь Я 2 , . . . , Нк), где Щ = (difl, di,i,...) и ^ > 0 d{j = щ. Положим {С*р)_ •_,\ Та£ L (Л,...,/*) € ( С ) И U € ( ( С ) 2 И <*,P нг Определим множество Е(Н) равенст

Глава. 4 Перечисление квазиоднородных компонент в Ai(r,n)

Глава посвящена результатам про перечисление квазиоднородных компонент в пространстве модулей пучков Л4 (г, п). Сформулируем основную теорему этой главы. Пусть а и (3 - положительные взаимно простые числа и произвольный вектор, удовлетворяющий условию 0 < Ш{ < а + /3. Определим вектор р = (р0, P i , . . . , pa+/3-i) £ Z>Q равенством pi = Й 0 ' | ^ = г}, а вектор р € Z>J^ формулой /^ = ,о_;а moc i а + / ? . Обозначим

4.1. Комбинаторное доказательство в случае а = /3 = 1 В этом разделе мы приведём комбинаторное доказательство Теоремы

4.1 в случае а — (3 = 1. План доказательства следующий. В случае а = /5 = 1 для характера Хр(я) имеется явная формула в виде бесконечного произведения. Используя этот факт, мы в Разделе

4.1.1 переформулируем Теорему

4.1 в виде Теоремы

4.2, которую мы и будем доказывать на протяжении этого раздела. Далее 7 1 в Разделе

4.1.2 мы построим клеточное ра

Положим га = а + р. Из Предложения

2.1 следует, что (

4.2.1) М(г,п)Г">?= Ц |г»|=п аЯКД), и Т^д-действие в левой части формулы (

4.2.1) соответствует Т^-действию в правой части. Из Теоремы

2.2 следует, что ХХмг,») *»)^ Е п>о ъещ0 ^ ?"^м(п^й)ч -\(9Я(*Л

Д)) являсо старшим весом Д. н м В работе [31] доказано, что пространство 0 v € Z m Hf&mw(v ется неприводимым представлением алгебры Ли slm Теорема

4.1 доказана.

Глава. 5 Геометрическая интерпретация обобщения формулы Мак-Магона В этой главе мы исследуем связь геометрии пространства модулей Л4 (г,

п) с комбинаторикой плоских разбиений. Плоским разбиением 7 называется диаграмма Юнга, заполненная положиг тельными целыми числами, невозрастающими вдоль строк и столбцов. Обозначим эту диаграмму Юнга через Y. Число, записанное в клетке (i,j) £ Y, обозначается через 7г^-. По определению, мы полагаем mj = 0, если (i,j) ^ Y. Положим |7г| = ^2(ij)&Yn

5.3. Когомологии многообразия М.(г,

п)п В этом разделе мы определим пространство М. (со, тщ ' и докажем следующую теорему. ТЕОРЕМА

5.1. F„(q,0) = Pq (м{оо,п){Г)2\ В качестве следствия этой теоремы и формулы

5.1.1 мы сразу получаем СЛЕДСТВИЕ

5.2. Имеет место равенство £р,(Моо,п)<->у = П П т Н ; п>0 i>0 j> \(1-№У В Разделе

5.3.1 мы вычислим многочлены Пуанкаре многообразий Л4(г,п)п . В Разделе

5.3.2 мы определим пространства Л^(оо,?г)т