Низкая цена
Всего 249a за скачивание одной диссертации
Скидки
75 диссертаций за 4900a по акции. Подробнее
О проекте

Электронная библиотека диссертаций — нашли диссертацию, посмотрели оглавление или любые страницы за 3 рубля за страницу, пополнили баланс и скачали диссертацию.

Я впервые на сайте

Отзывы о нас

Конечномерные методы в прикладных задачах оптимального управления : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02

Год: 2013

Номер работы: 125

Автор:

Стоимость работы: 249 e

Без учета скидки. Вы получаете файл формата pdf

Оглавление и несколько страниц
Бесплатно

Вы получаете первые страницы диссертации в формате txt

Читать онлайн
постранично
Платно

Просмотр 1 страницы = 3 руб



Оглавление диссертации:

2.1. Задача управляемости

2.1.1. Постановка и решение задачи управляемости

2.1.2. Численные результаты исследования

2.2. Задача быстродействия «из точки на плоскость»

2.2.1. Постановка и решение задачи быстродействия быстродействия

2.2.3. Численные результаты исследования

2.3. Нахождение моментов переключений экстремального управления в задаче быстродействия «из точки в точку»

§

2.4. Две задачи минимизации концентрации загрязнений

2.4.1.

2.4.3. Постановка задач оптимального управления Свойства функций переключений

2.4.2. Применение принципа максимума Понтрягина

2.4.4. Типы оптимальных управлений

2.4.5. Решения задач оптимального управления

2.4.6. Результаты численных расчетов

§

2.5. Две задачи

3.1.1. Актуальность задачи

3.1.2. Постановка математической модели

§

3.2. Задача оптимального управления минимизации концентрации зараженных клеток в конечный момент времени

3.2.1.

3.2.3. Анализ оптимального управления при а < fi Решение задачи оптимального управления минимизации концентрации зараженных клеток в конечный момент времени

§

3.3. Задача оптимального управления минимизации суммарной

3.2.2. Анализ оптимального управления при а >

Центральным результатом теории оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления [1]. Этот результат и связанные с ним исследования, проведенные Л.С. Понтрягиным и его учениками, послужили толчком для стремительного развития теории управления. В настоящее время теория оптимального управления является важной областью прикладной математики. Научно-исследовательская деятельность в оптимальном управлении рассматривается как ис

Глава 1. Управляемая математическая модель очистки сточных вод. Ее множество достижимости

§

1.1. З а д а ч а очистки сточных вод

1.1.1. Актуальность задачи На качество воды оказывают значительное влияние находящиеся в ней вещества и соединения в различных концентрациях. Превышение концентрации некоторых загрязняющих веществ может пагубно воздействовать как на человека, так и на биологическую обстановку в водоемах. Загрязнение водных источников включает в себя любые изменения физических, химических, биологических свойств воды в водоемах, обусловленные сбросом в них твердых, жид

Среди сооружений биологической очистки различают установки непрерывного и периодического действия. При непрерывном методе сточные воды обрабатываются последовательно в ряде реакторов, переливаясь из одной стадии очистки в другую (многоступенчатая очистка). Такой способ обеспечивает равномерный спуск очищенных вод, но является очень громоздким и неэкономичным. При периодической технологии все циклы очистки проходят последова32 тельно в одном реакторе (одноступенчатая очистка). Перед сбросом во

В целях повышения эффективности ATAD в последние десятилетия разработаны различные стратегии управления биологической обработкой. Простые стратегии, как правило, ограничивают и упрощают модель из-за необходимости использования фиксированного числа легко определяемых параметров процесса, таких как уровень питания микроорганизмов, уровень переработки грязи или концентрация кислорода в аэротенке [73]. Более сложные модели учитывают, что этот процесс также зависит от ряда иных условий, например,

Математически модель описанного выше процесса биологической очистки сточных вод представляет собой нелинейную трехмерную управляемую систему дифференциальных уравнений: x(t) = -hx(t)y(t)z(t) № = -cx(t)y(t)z(t), -bz(t), + u(t)(m - x(t)), t € [О, Г], z(t) = ax(t)y{t)z{t) v x(0) = x0, y{0) = y 0 j ^(0) = ZQ, X0 e (0,m), y0 > 0, z0 > 0. Физически указанная выше система описывает химическую реакцию трех реагентов: • кислорода с концентрацией x(t); • органических и патогенных веществ, кот

1.2.2. Приведенная управляемая математическая модель Уменьшим количество параметров в системе уравнений (

1.1). Для этого выполним в ней замену переменных: x(t) виде: =т, y{t) = т, z{t)=т, + u(t) [am - Щ где x(t), y{t), z(t) - новые переменные. Тогда система (

1.1) перепишется в x(t) = -±x(t)y(t)z(t) к z(t) = ^x(t)y(t)z(t)-bz(t). Выберем значения а, /3, 7 таким образом, чтобы выполнялись равенства: /З7 = h, а1 = с ; аР = аРассмотрим их как систему уравнений относительно

Рассмотрим систему (

1.3) при нулевом управлении u(t) = 0, t G [0,Т]. Проинтегрируем ее и проанализируем полученные решения. Имеем вид: x(t) = -x(t)y(t)z(t), y(t) = -x(t)y(t)z(t), (

1.5) te[0,T], < z(t)=x(t)y(t)z(t)-bz(t), x(0) = x0, 2/(0) = 2/o, z(0) = 2 0 , v x0 < (0,m), 2o > 0, z0> 0. G / Из первых двух уравнений имеем х = у или х = у-\-хо — уо. Далее рассмотрим два случая. Случай 1. Рассмотрим сначала случай XQ = уо или х — у. Тогда имеем систему: ' y(t) = -2/2W

Установим справедливость следующего утверждения, описывающего свойства фазовых переменных x(t), y(t), z{t) системы уравнений (

1.3). Лемма 9 Пусть задано произвольное управление и(-) Е D(T). ветствующие Тогда соот­ решения x(t), y(t), z(i) системы уравнений (

1.3) определены на всем отрезке [О, Т] и удовлетворяют О < x{t) < XmaXj О < y(t) неравенствам: < Zmax, t G [О, Г ] , (

1.6) < Утах, О < z(t) где %тах = %0 • ^Т-^тох-^ > Углах = VOt %тах ==

Рассмотрим для управляемой системы (

1.3),(

1.4) множество достижимости Х(Т) С R 3 из начальной точки (xo,yo,zo)T z(T))T в момент времени t = Т, решений (x(t),y(t), z(t))T си­ то есть множество значений (х(Т),у(Т), стемы уравнений (

1.3), отвечающих всевозможным управлениям и(-) G D(T). Здесь знак т означает транспонирование. Из Леммы 9 и результатов работы [52] немедленно следует, что множество Х(Т) ством в R 3 , расположенным в области является компактным множе­ Ux,y,z)

1.3.3. Примеры квадратичных дифференциальных уравнений, решения которых существуют на заданном отрезке Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение x{t) =x2(t) + 3x(t) + 2, t > 0. Найдем такие начальные условия х(0) = XQ, при которых соответствующее решение x(t) определено на любом отрезке [0,Т], Т > 0. 62 Проинтегрируем уравнение. Имеем выражение dx (ж +

2)(ж +

1) = dt или 1 х +1 Находим решения: х +1 = Сё, х +2 х = -2. 1 х+2 dx = dt. Удовлетворим начальному условию

1.3.4. Вспомогательное мнолсество и его свойства Привлекая результаты Теоремы 4, построим для множества достижимости Х(Т) параметризацию с помощью моментов переключений кусочно-постоянн управлений. Для этого рассмотрим множество л(г) = [в = {в1,в2,в3)т ея3:0<е1<е2<в3<ту Для каждой точки В £ Л(Т) определим управление щ(-) £ D(T) по формуле / Umax , еСЛИ 0 < t < 0Ь u9(t) = { О *Wr О , если 9\ <t < $2, , если 92<t , если <93, (

1.48) 63<t<T. T По

Параметрическое описание множества достижимости приведенной системы Наконец, имеет место следующее утверждение. Теорема 8 Для множества достижимости Х(Т) системы (

1.3) и вспо­ могательного множества Z(T) имеет место равенство Х(Т) = Z(T). 84 Доказательство. Из (

1.56) следует, что достаточно показать справедливость включения Х(Т) С Z(T). Предположим противное. Пусть существует точка w, такая что выполняются следующие включения: w^Z{T), weX{T) Рассмотрим точку w ф Х(Т). Из Лем