Низкая цена
Всего 249a за скачивание одной диссертации
Скидки
75 диссертаций за 4900a по акции. Подробнее
О проекте

Электронная библиотека диссертаций — нашли диссертацию, посмотрели оглавление или любые страницы за 3 рубля за страницу, пополнили баланс и скачали диссертацию.

Я впервые на сайте

Отзывы о нас

Математическое моделирование процесса термической диссоциации газовых гидратов : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 25.00.10

Год: 2013

Номер работы: 33564

Автор:

Стоимость работы: 249 e

Без учета скидки. Вы получаете файл формата pdf

Оглавление и несколько страниц
Бесплатно

Вы получаете первые страницы диссертации в формате txt

Читать онлайн
постранично
Платно

Просмотр 1 страницы = 3 руб



Оглавление диссертации:

Объект исследования - физические процессы деструкции и диссоциации газогидратов с учётом фазовых переходов. Актуальность исследования.Гидраты углеводородных газов широко распространены в природе, что обусловливает интерес к ним как к одному из перспективных источников энергии. В настоящее время даже наиболее интересные и доступные для исследований поддонные скопления гидратов изучены относительно слабо, практически отсутствуют геофизические методики поисков и оконтуривания их залежей [1]. Реш

Глава 1. ГАЗОВЫЕ ГИДРАТЫ И М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е Н И Я ЗАДАЧ С Д В И Ж У Щ Е Й С Я ГРАНИЦЕЙ Задачи с движущейся границей возникают в природе и технике и представляют определённые сложности при их численном решении. В главе рассмотрен этот класс задач и неконформные методы конечных элементов, которые можно применять для их решения. Особое внимание уделяется многомасштабным (Multiscale) методам и разрывному методу Галёркина.

1.1. Газовые гидраты По структуре газовые гидраты - это клатратные соединения, образующиеся при внедрении молекул газа в пустоты кристаллических структур, составленных из молекул воды. Существуют два типа решетки гидратов: структура I, построенная из 46 молекул воды и имеющая 8 полостей, и структура II 136 молекул воды, 16 малых полостей и 8 больших. Молекулы газа - гидратообразователя находятся в полостях решетки, которая может существовать только при наличии этих молекул [10]. Метан, эта

1.2. Задачи с движущейся границей При математическом моделировании границы вычислительной области известны, а краевых условий и системы дифференциальных уравнений в частных производных достаточно для получения (единственного) решения. В то же время в некоторых задачах положение границ области неизвестно. Его можно определить исходя из значений фазовых переменных - это задачи со свободной границей. Физические процессы могут происходить и в ограниченной области, в которой есть подобласти с р

1.3. Математические модели Для моделирования процесса объемной диссоциации газовых гидратов в пористой среде было предложено две модели - равновесная и кинетическая. В основе первой модели лежит предположение о том, что в каждом элементарном объеме пористой среды выполняется условие термодинамического равновесия системы газ-вода-гидрат [34]. Кинетическая модель основана на экспериментальной зависимости скорости диссоциации газогидрата от давления, температуры и размеров его частиц ([35], [

1.4. Численные методы решения задач с движущейся границей Сложность задач с движущимися границами предъявляет особые требования к математическому и программному обеспечению, предназначенному для их решения. Для решения таких задач необходимо использовать аппарат современных численных методов, позволяющих при минимальных вычислительных затратах учитывать осцилляции решения, допускающих hpстратегии и обеспечивающих возможность специальной численной гомогенизации для определения эффективных х

В работе 2001 г. [56] была предпринята попытка использования различных методов и постановок в подобластях области моделирования. Частью вычислительной области является вращающийся элемент прибора. Сетка на ней строится независимо от неподвижной части области. При этом возникают висячие узлы, то есть узлы, одновременно являющиеся вершиной какого-либо ребра и в то же время внутренней точкой другого ребра. Позже в работе [57] этот подход был подробно проанализирован, как численно, так и теоретич

1.5. Обратные коэффициентные задачи Будем называть обратными задачи, связанные с определением некоторых физических свойств объектов по наблюдаемым в эксперименте данным. Более строго, обратная задача заключается в решении операторного уравнения вида и = A(z), где и - наблюдаемые данные, А - модель наблюдаемого явления, z - параметры, от которых зависит модель А и которые подлежат уточнению [97]. Как правило, решение обратной задачи состоит в определении либо коэффициентов дифференциальных

В главе введены функциональные пространства и построены вариационные формулировки многомасштабного метода Галёркина для задач с фазовым переходом.

2.1. Функциональные пространства Введём триангуляцию т^ области Q на непересекающиеся открытые множества К такие, что [j К = U. Пространство Н1{К) - множество функций, интегрируемых с квадратом на К вместе со своей первой производной со скалярным произведением (и, v) = JK u(x)v(x) dx -f JK Vu{x) • Vv(x) dx и порождаемой им нормой ||u|| = [fKu(x) странства H\rh) = {v(x) еЬ2{П):хе Hi Ы = {v (x) :veHl П,у(х) \K e H\K)} (rh), v\da = 0} , , dx + JK V«(a;) • Vu{x)dxJ и про­ конечномерные подпро

2.1.1. Декомпозиция пространства V Обозначим V = Н1 (rh), Vc = Hl (fi), Vd = Я 1 (rh). Пусть У = К ф 1£, тогда tt G V <=> и = ис + ud, ис е Vc, ud € Vd. (

2.1) Конечномерные подпространства пространств Vc и Vd будем обозначать соответственно Vch и УдиДля пространства Vch будем использовать обычный лагранжев базис. Для пространства Vdh - разрывные финитные функции, имеющие в качестве носителя один конечный элемент.

2.2. Вариационная формулировка Сформулируем задачу (

1.1)—(

1.8) как задачу о седловой точке ([83]), введя дополнительную переменную а: as = XSVTS на П3, 3 Cpsps-Qj- = V • as + /(/) на (2-2) ft5, (

2.3) дТ <?L = ALVT/, на nL, на 0L, CPLPL-QT- = V • aL + /(J) T •mi sk(t) = TL\t(t) = ^r/ T\rD = 9D, <г|г„ = 0, T\t=o = T 0 на П. (

2.4) (

2.5) (

2.6) Рассмотрим вариационную формулировку разрывного метода Галёркина для уравнения теплообмена в тв

2.3. Оценка погрешности В [83] было показано, что вариационная формулировка (

2.14) с билинейной формой (

2.16) обладает следующими свойствами: • Устойчивость: a(^)>Cs||M||2Wel4, где Cs > О - константа, |||г>||| - норма, |||г>||| 2 = \v\lh + T,K\V\I,K> Екет,нк\у\1к + М*> \v\i,h и И* - полунормы, \v\\h = М* = £ е е г 1 Ы М ) | | о , п ; • Состоятельность: a(u-uh,v)=0\/ve • Ограниченность: a(v,w) < Cb|||v||| |||гу||| Vv,w G Vh\ Vh\ (

2.17) • Аппрокси

2.4. Представление решения в виде суммы компонент Рассмотрим случай, когда подпространство Vd определено не на всей области П, а лишь на подобласти fid (см. рисунок

2.1). Это имеет смысл в тех случаях, когда решение меняется гладко в одной подобласти О, и очень резко в другой (или вовсе претерпевает разрывы). Обозначим подобласть, где решение гладко, - fic, а подобласть с разрывным решением - fi^. Отметим, что непрерывная компонента решения существует в Г = flc (J fid, а разрывная 2

Рассмотрим условие, выполняющееся на границе фаз (

1.4). Фактически, в это выражение входит скачок теплового потока. Из (

1.4) следует, что A Sж drs = ЬР5Фу - \ ьть ь — . В дискретную вариационную формулировку (

2.20)—(

2.21) входит интеграл, содержащий интересующие нас величины: Je {AVT^} • [i^ds. Пусть грань е € Гг. Тогда по определению оператора среднего {•} М Г 7 ^ А 5 УГ 5 + А Ь УГ £ /е {AVT,} • М <e = I W,+A,,VT,, .n ^ ^ 5 f = / е | ((ЬрФг;

-

2.5. Построение дискретного аналога вариационной формулировки

2.5.1. Определение конечного элемента задаётся следующим Определение 1. Конечный элемент (К,Р,А) образом[10б]: • К - геометрическая полиэдральная область, • Р пространство полиномов, определённых на К с базисом {Ф1,...,Ф„}, • А - множество п линейных функционалов (степеней свободы), определённых на Р. Решение ик на конечном элементе К представляется в виде ик(х, y,z) = Y^ и?Ъ?(х, у, z). г Определим конечные элементы в соответствии с определением 1 и выбранными функциональными прост

2.5.2. Дискретный аналог для задачи Стефана Рассмотрим соотношения (

2.20) и (

2.21). Будем аппроксимировать функции и £ Hl(rh) и сг е (i/ 1 (r/ l )) 3 на конечном элементе К е тд функциями Щ €• Vh и <Jh Е S/j, а на границах конечного элемента - операторами следа их = {йк)Кетн е Т (Г) и ак = (aK)K£Th € [Т(Г)] 3 . Получим дискретную вариационную формулировку многомасштабного метода Галёркина: найти Tch G Vch и Tdh £ Vdh такие, что / cp-^vcdx X + / XVTch • Vvcdx +^2ve e£TD e

2.5.3. Технология построения дискретного аналога вариационной формулировки Рассмотрим процесс дискретизации выражений (

2.22) - (

2.23). 45 Будем выбирать поочерёдно в качестве тестовых функций Vd поочерёдно базисные функции пространства Vdh, в качестве vc - базисные функции Vch• hnt[jrD(lud]-{Vvd}ds. Ы \к,е = UKnK + UNnN = UKTlK-UNnK, {Vv} = \ ( dv \ dx dv dy dv , где К e rd, \TzJ__ e - грань К, N - конечный элемент, соседний с К (е = К f] N), пк = (щ, П2,

щ) - векто

2.5.5. Учёт краевых условий В предложенном методе краевые условия первого рода вводятся в вариационную формулировку. Интегралы JT Xg^ri • Vvcds, вносятся в правую часть в виде произведений —G',egD, ставе лифтинг-операторов re,gD([uc}) и re^n([ud\) fT Хдрп • Vv^ds слагаемые в со­ - в виде произведений -GK>K>eMxlGK>K>egD и -GK'k'eMKlGk'k'egD соответственно. В формуле (

2.23) дв — 0, поэтому вклад краевого условия в этой формуле равен нулю.

Выбирая в качестве vc поочерёдно базисные функции подпространства Vch, получим локальные СЛАУ для конечных элементов К G тс: • Если К <£ Q,d (на К не определена разрывная компонента решения): СкРкЩ"к + к \S uk \ Х k л Е eedK:eeTD rieGk*W£Gk**uA J = А* ( ~ \ Е eedK:eerD iuPk**M£Gk**9Dz - Ak*gDA ] + Mkfk] Все локальные матрицы левой части локальной СЛАУ входят в глобальную СЛАУ в блок 1 (см. рисунок

2.7). • Если К f]Q,d Ф 0 (на К определена разрывная компонента реше

Пусть m - размерность пространства Vch, a n - размерность пространства Vh. Требуется решить СЛАУ Ах = 6, где А - матрица размерности п х n, b - вектор размерности п. Пусть PnXm ~ матрица оператора проектирования 54 из Vh на Vch- Тогда алгоритм решения СЛАУ будет выглядеть следующим образом ([109], [91]): • выбираем начальное приближение хо; • Го = Ъ — AXQ - начальная невязка; для г = 1,2,...:

- д = Ртп-Х у={РтАР)-1д х{_± ГА_\ 1 =Xi-{-Py =Ь— _1 АХ;_\ ' 2 z = Л г,_1 Xi = Х;_1 + Z 2 Гг =

2.5.9. Алгоритм решения задачи Стефана Очевидно, что окрестность источника и область фазового фронта требуют повышенного внимания при расчётах. В данной работе вместо локального сгущения сетки предлагается добавить в решение компоненту «мелкого масштаба». Основные особенности алгоритма заключаются в следующем [6]: • в вычислительной области две подобласти мелкого масштаба (рисунок

2.10); • одна из подобластей движется вслед за фазовым фронтом; • эта подобласть невелика по размеру и т

3.1. Результаты прямого моделирования В проведённых экспериментах при измерении температуры давление меняется слабо. Поэтому для моделирования процесса нагревания образца и дальнейшей диссоциации газовых гидратов будем использовать модель (

1.1)(

1.8). Давление в явном виде не учитывается, однако оно влияет на темпе- 64 ратуру фазового перехода. Границей Гд будем считать стенки камеры, IV верхнее и нижнее основания камеры. Значения параметров As, А^, cpsps, Срьрь, как правило,

Для льда при нормальном давлении температура фазового перехода равна 0°С. Рассмотрим задачу Стефана (

1.1)-(

1.8) при условии равномерного распределения породы. Тогда задачу можно рассматривать как одномерную. Пусть порода - это лёд при нормальном давлении. Зададим следующие начальнокраевые условия: То = -Ь°С, Г(0, t) = 5°С, Г(оо, t) = -Ъ°С. Тогда задача будет иметь следующее аналитическое решение в области Г2# (в твёрдой фазе) [54]: т> т> J-o~J-m „„£„ х erfc(Py^J^) 2 ^ '

3.6 - Результаты численного моделирования и лабораторного эксперимента (нагревание чистого льда) Приведём сечение области плоскостью z = 0. На рисунке

3.7 видно, что линии уровня решения в случае равномерного распределения вещества имеют форму окружности на сечении, а в трёхмерном случае они имеют форму цилиндра.

0.02 г зонд г т,к 264

263.9

263.8

263.7

263.6

263.5

263.4

263.3

263.2

263.1 • X, м

0.01

0.02 Рисуно

3.1.2. Расчёты для гидратсодержащей смеси в однородной среде Так как в случае равномерного распределения вещества граница раздела фаз имеет форму цилиндра, расстояние от любой точки фронта до оси зонда будет неизменно и его можно принять в каче­ стве характеристики местоположения фронта. На рисунке

3.8 представлен график движения фронта реакции при мощности источника 10 гидрата

0.5 Вт/(м-К) и начальной темперасреду. Вт/м, теплопроводности туре эксперимента

2.2 °С. Э

Рассмотрим случай, когда в области моделирования порода распределена неравномерно, например, включение породы другого состава. В этом случае температурное поле не будет осесимметрично, а фронт диссоциации уже не будет иметь форму цилиндра. Именно такое температурное поле можно наблюдать на рисунке

3.13, или, более схематично, на рисунке

3.14).

0.02 г т,к

0.01 - > о Рисунок

3.13 - Сечение области плоскостью z = 0

0.02 эонд песок

0.01 / / \ v

3.2. Решение обратной задачи Стефана в одномерном пространстве Предполагается, что коэффициенты А/, и As постоянны. Требуется найти коэффициент теплопроводности As по измеренным значениям температуры Т* во внутренних точках. Коэффициент А^ считается известным из физических соображений. Температура измеряется в источнике, поэтому нам доступны лишь измерения в точке х = О, и мы не можем определять оптимальную схему измерений. Модель наблюдения имеет вид: 6 = F[A]+£, (

3.5) где Е -

3.2.1. Для Минимизация функционала ошибки минимизации функционала ошибки выбран метод Флетчера- Ривса[101]. Пусть d - вектор градиента J(A) в х^ \ к р{к) _ текущее направление поиска, р(о) = _ d (o) > Д(°) - начальное приближение. p(*+i) = -d{k+1) + ^ P + ( ^ Алгоритм 1. A = A0, i*—J«(*> • # ) ) P (3

6) (3-6) 2. d(0)(A0), p(0) = -d ( 0 ) , 3. /c = 0, 4 a<fc) = are min J (\{k) + arfkA = , ^J/flA} 4. a argmmj^A tap j &

§[&г/д\)[<гг/д\]т*ь-й> 5. A(fc+1

Алгоритм Флетчера-Ривса использует в вычислениях функцию чувствидТ тельности Т\ = Щ-. Будем находить её методом конечных разностей: дХ а г . , Г ( А +

АА)-Г(А) Ж ~ ДА h _ Т л ' (3 -Г) На г'-й итерации алгоритма минимизации функционала ошибки определено приближенное значение коэффициента теплопроводности А^. Также вычислена функция ТЦА^) = Th(X^\x,t). Для получения аппроксимации Тд(0 необходимо выбрать малое приращение аргумента ДА, вычислить величину 86 ДМД = дМ _|_ д д функцию ХЦ