Низкая цена
Всего 249a за скачивание одной диссертации
Скидки
75 диссертаций за 4900a по акции. Подробнее
О проекте

Электронная библиотека диссертаций — нашли диссертацию, посмотрели оглавление или любые страницы за 3 рубля за страницу, пополнили баланс и скачали диссертацию.

Я впервые на сайте

Отзывы о нас

Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 07.00.10

Год: 2004

Номер работы: 661925

Автор:

Стоимость работы: 249 e

Без учета скидки. Вы получаете файл формата pdf

Оглавление и несколько страниц
Бесплатно

Вы получаете первые страницы диссертации в формате txt

Читать онлайн
постранично
Платно

Просмотр 1 страницы = 3 руб



Оглавление диссертации:

л " Созданное в конце XVII в. исчисление бесконечно малых сразу наншо нтрокое применение при решении различных задач математики и механики [6, 31,51,52, 73, 90, 91, 92, 115,137, 156 и др.]. Однако оно не могло стать законным инструментом в математических исследованиях, так как еще не получило строгого обоснования. Основные понятия математического анализа (понятия функции, производной, дифференциала, интеграла) определялись с помощью геометрических или механических образов, которые предп

в анализ бесконечно ч • малых"(1748) [124,125], "Дифференциальное исчисление" (1755) [126] и трехтом1юс "Интегральное исчисление" (1768-1770) [127], Эйлер подвел итог достижений XVIIB. И первой половины XVIIIB. в этой области. Здесь впервые математический анализ был представлен как единая система, объединенная концепцией функции, и стал основой для дальнейших исследований ученых более позднего времени. Эйлер был первым, кто изложил математический анализ в чисто ана

Глава П. Формирование теории гамма-функции в исследованиях Л. Эйлера

§ 1. Понятие гамма-функции и некоторые её свойства Среди трансцендентных функций важнейшей по степени использования для ренхепия теоретических и прикладных задач из различных областей физико-математических и технических наук является гамча-фунщия (Г-функция), или эйлеров интеграч второго рода. Г( z) - мероморфная функция с простыми полюсами 0,-1,-2,— и с вычетом (-1)" — в п\ полюсе z=-n [102, с. 262], определяемая следующим образом: r(z) = l i m - — - ^ . rn.QZ^O, -1, -2,... Если действ

§2. Возникновение понятия гамма-функции Появление Г-функции было связано с поиском решения задачи интерполирования последовательностей и рядов, поставленной в математике XVII-XVIII вв. для некоторых частных случаев [13,14]. При этом интерполяцию понимали как нахождение такой непрерывной функции F(x), которая при х=1, 2, 3,... принимает значения//,/ ,у}.... данной числовой последовательностиу^, соответствующие членам ряда / + / + / + . . . Другими словами, если дана функция натурального арг

§3. Некоторые результаты Л. Эйлера по теории гамма-функции Эйлеру принадлежит открытие многих важных свойств Г-функции. 1. Функционачыюе уравнение для Г-функции: Г(г+1) =zr(z). Этот результат Эйлер получил распространив известное свойство факториалов к 35 Рис.

2.2 z!=z(z-l)! на случай нецелых значений z. Доказательство этого свойства приведено в ' 1^" мемуаре Е662 ("О величине интегральной формулы \dx\ I— , где д: изменяется от х=0 до х=1" [187] ,сданном в печать в 177

§4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, относящиеся к теории гамма-функции Записная книжка №129 (1725-1727гг.) Заметка на листе 36 об. содержит представление членов ряда факториалов 1, 2, б, 24, 120, 720 etc. 1 1 с индексами!— и — в виде соответствующих бесконечных произведений. [Квадрат] члена с индексом 1 есть — 24-48>80-120-168'224-g/c. 25-49-8М2М69-225-е/£г.'^' 1 так как член с индексом — равен 4-6>8-10-12-14-16-18-g/c. / 3-5-7-9-lM3-15-17-g/c. " В той же записной книж

Бета-функция (В) определяется как функция от двух переменных с помощью интеграла, который называется эйлеровым интегралом первого рода: I В(а,Ь)= /лг^-'О -х)*-'а[х:, где Rea>0, Reb>0. (64) о Это название дал интегралу (64) в 1811 г. Лежандр, а называть его бета-функцией предложил в 1839 г. Ж. Бине (1786-1856). Бета-функция обладает рядом интересных свойств [3,

§

1.5,

§

1.6, с.23-30 ; 41,

§1, с.5-7; 102,т. 111,

4.2,

§72, с. 265-266 ; 108, гл. XI

§2. Обзор результатов Эйлера по теории бета-функции . = , а следо- Эйлеру принадлежит открыгие многих свойств интеграла вательно и В-функции. Так уже в одном из своих ранних мемуаров Е19 [159] (1729), исходя из определения для биномиальных коэффициентов \-2:..П П\ .q) (y-2:..q){\-2:..in-q)) qKn-q)\ и заменив здесь факториалы соответствующими интегральными формулами, т. е. п\=\{-\пх)"(1х, о а также применив соотношение (77), он получил выражение I 0 ^ U-\nxydx , (80) qlx-'-'^X-x

§3. Теория бета-функции в "Интегральном исчислении" Л. Эйлера Полученные Эйлером результаты, касающиеся В-функции, были оформлены им в стройную теорию, которая изложена в первом томе его знаменитого "Интегрального исчисления" [127], появившегося в 1768 г. Весь материал первого тома "Интегрального исчисления", связанный с теорией этой функции, можно условно разбить на четыре части: в первой собраны сведения по неопределенным интегралам, которые необходимы для п

§4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, в которых рассматриваются вопросы теории бета-функции Записная книжка №131 (1736-1740 гг.). Здесь на листе 9 об. содержится формула перехода от интеграла \х^'(1 - дг")* ^ о к \x^'-\\-x")''dx: \x''{\-x"ydx= ^ " , {х''-\1-х"Ус1х. Она является одной из шести формул, выражающих соотношения между интегралами первого рода, которые имеются на листе 11 1. \x'"{\-x"fclx= i -—•\x'"{\-x")'"'(h; m + nk+li '&quo